La teoría de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria

Esta paradoja demuestra que la teoría de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria. Según Russell, los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no.

Si consideramos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismo como miembros, lo llamamos T, ¿Está T contenido dentro de sí mismo como miembro? Por definición, no se contiene, pero sin embargo, si no está contenido, por definición debe estar.

Esta paradoja es también conocida como la paradoja del barbero:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar sanguijuelas.

Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas (todas las personas debían ser afeitadas por el barbero o por ellas mismas). Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

"En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería de afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si por el contrario, no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar ¡pero yo soy el único barbero de allí!"

Foto: selago
Fuente(s): campusvirtual.unex.es